Vecteur normal à un plan

Comment vérifier qu’un vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à un plan ?

Pour qu’un vecteur $\vect{n}$ soit normal à un plan, il faut qu’il soit orthogonal à DEUX vecteurs non colinéaires du plan.

Interprétation graphique

Exemple

Solution rédigée

Prenons deux vecteurs du plan $(BCM)$ et déterminons leurs coordonnées.

On a $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$ et $M\left(0;1;\dfrac{1}{2}\right)$. Donc $\vect{BC}\vectcoordxyz{0}{1}{0}$ et $\vect{BM}\vectcoordxyz{-1}{1}{\dfrac{1}{2}}$.

Ces deux vecteurs sont évidemment non colinéaires.

Avec un produit scalaire, vérifions si le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à ces deux vecteurs $\vect{BC}$ et $\vect{BM}$.

$\vect{n}\cdot \vect{BC}=1\times 0 + 0 \times 1 + 2 \times 0 = 0$ et $\vect{n}\cdot \vect{BM}=1\times (-1) + 0 \times 1 + 2 \times \dfrac{1}{2} = 0$

Le vecteur $\vect{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCM)$. Il est donc normal à ce plan.

Interprétation graphique