Le théorème des valeurs intermédiaires

Quand doit-on l’utiliser ?

Lorsque la question ressemble à

Montrer que l’équation $f(x)=k$ a au moins une solution dans l’intervalle $\left[a;b\right]$

Quels sont les conditions pour l’appliquer ?

Il faut que :

la fonction $f$ soit continue sur l’intervalle $\left[a;b\right]$
le nombre $k$ soit dans l’intervalle $\left[f(a);f(b)\right]$ ou $\left[f(b);f(a)\right]$ (selon lequel est le plus grand).

Remarque : $f(a)$ ou $f(b)$ peuvent être remplacés par $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a }} f(x)$ ou $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow b }} f(x)$ lorsque la fonction est définie par exemple sur $\left]a;+\infty\right[$ .

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[-3;+\infty\right[$ par $f(x)=x^3+3x^2-x-2$ .

Montrer que l’équation $f(x)=3$ admet au moins une solution dans l’intervalle $\left[-3;+\infty\right[$ .

Solution rédigée

la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $\left[-3;+\infty\right[$ , car c’est une fonction formée par le quotient de deux polynômes (qui sont toujours continus sur $\double{R}$ ).
$f(-3)=$ $\textcolor{#FF0000}{1}$ et $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty }} f(x)=$ $\textcolor{#0000FF}{+\infty}$ donc $3 \in \left[\textcolor{#FF0000}{1}; \textcolor{#0000FF}{+\infty}\right[$ .

Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=3$ admet au moins une solution dans l’intervalle $\left[-3;+\infty\right[$ .

Interprétation graphique

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