Vecteur normal à un plan

Exercice 1

Soient $A\pt{-1}{1}{-3}\text{, }B\pt{3}{-1}{-3} \text{et }C\pt{0}{3}{2}$ trois points dans un repère orthonormé $\repxyz$ .

Justifier que ces trois points définissent un plan.
Montrer que le vecteur $\vect{n}\vectcoordxyz{-1}{-2}{1}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ .

Correction

On a : $\vect{AB}\vectcoordxyz{4}{-2}{0}$ et $\vect{AC}\vectcoordxyz{1}{2}{5}$ .

Pour la coordonnée $x$ , on a $x_{\vect{AB}}=4 \times x_{\vect{AC}}$ , mais cette égalité est fausse pour les autres coordonnées.

Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires, ainsi les points $A\text{, }B\text{et }C$ forment un plan de l’espace.

Vérifions si le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ , en utilisant le produit scalaire.

On a : $\vect{n}\cdot\vect{AB} = -1\times 4 -2\times (-2) + 1\times 0 = 0$ et $\vect{n}\cdot\vect{AC} = -1\times 1 -2\times 2 + 1\times 5 = 0$ .

Le vecteur $\vect{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires, il est donc normal au plan $(ABC)$ .