La fonction $f$ est continue sur $\left[-1;+\infty\right[$ car c’est le produit de deux fonctions continues.

De plus, $f$ est strictement croissante sur $\left[-1;+\infty\right[$.

Enfin, $f(-1)=-\e^{-1} < 0$ et $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty }} f(x)=+\infty$. Donc $0 \in \left[-\e^{-1};+\infty\right[$.

Donc d’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\left[-1;+\infty\right[$.