1. On a une épreuve de Bernoulli, dont le succès est le fait que la personne choisie au hasard ne soit pas satisfaite, de probabilité $p=0,05$.

On répète cette épreuve de Bernoulli 20 fois, de manière identique et indépendante (tirage avec remise). On a donc un schéma de Bernoulli.

Enfin, $X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli.

$X$ suit donc une loi binomiale $\mathcal{B}\left(20;0,05\right)$.

2. On cherche $P(X=3)$ :

3. On cherche $P(X\leqslant 2)$ :

4. 1. On a ici une loi binomiale $\mathcal{B}\left(n;0,05\right)$ et on cherche à résoudre l’inéquation $P(X \geqslant 1) \geqslant 0,99$.

   En passant par l’événement contraire, on a :

   $\begin{aligned} P(X \geqslant 1) \geqslant 0,99 &\Longleftrightarrow 1 - P(X = 0) \geqslant 0,99 \\ &\Longleftrightarrow 1 - \dbinom{n}{0} \left(0,05\right)^0 \left(1-0,05\right)^{n-0} \geqslant 0,99 \\ &\Longleftrightarrow 1 - 1 \times 1 \times 0,95^n \geqslant 0,99 \\ &\Longleftrightarrow 1 - 0,99 \geqslant 0,95^n \\ &\Longleftrightarrow 0,95^n \leqslant 0,01 \end{aligned}$
   2. On résout l’équation en utilisant la fonction $\ln$.
   $\begin{aligned} 0,95^n \leqslant 0,01 &\Longleftrightarrow \ln\left(0,95^n\right) \leqslant \ln(0,01) \\ &\Longleftrightarrow n\ln\left(0,95\right) \leqslant \ln(0,01) \\ &\Longleftrightarrow n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln\left(0,95\right)}\text{~car~}\ln\left(0,95\right) < 0 \\ &\Longleftrightarrow n \geqslant 89,8 \end{aligned}$

   Il faut donc prendre au minimum 90 personnes pour que la probabilité d’en avoir au moins une non satisfaite dépasse 0,99.