• Dérivons deux fois la fonction :

puis

• Déterminons le signe de $f''(x)$ :

Comme $\e^x > 0$ pour tout $x \in \double{R}$, le signe de $f''(x)$ dépend uniquement du signe de $x^2+4x-1$.

C’est un polynôme du second degré, donc $\Delta = 4^2-4\times 1 \times (-1)=20 > 0$.

Le polynôme admet donc deux racines distinces : $x_1 = \dfrac{-4-\sqrt{20}}{2}=-2-\sqrt{5}$ et $x_2 = \dfrac{-4+\sqrt{20}}{2}=-2+\sqrt{5}$

Et comme $a=1>0$, on a le tableau de signe suivant :

La courbe représentative de $f$ a donc deux points d’inflexion aux abscisses $-2-\sqrt{5}$ et $-2+\sqrt{5}$.

• Dérivons deux fois la fonction :

puis

• Déterminons le signe de $f''(x)$ :

Comme $\e^x > 0$ pour tout $x \in \double{R}$, le signe de $f''(x)$ dépend uniquement du signe de $x-1$.

On a donc le tableau de signe suivant :

La courbe représentative de $f$ a donc un point d’inflexion à l’abscisse $1$.

2. L’équation de la tangente en $x=-1$ est : $y=f'(-1)(x-(-1))+f(1)=\dfrac{1}{\e^{-1}}(x+1)+0=e^1(x+1)=ex+e$.

L’équation de la tangente en $x=-1$ est donc : $y=ex+e$.

3. On sait que la fonction est concave sur $x \in \left]-\infty ; 1\right]$. La courbe représentative de $f$ est donc en dessous de ses tangentes, en particulier de la tangente en $x=-1$ d’équation $y=ex+e$.

Donc, pour tout $x \in \left]-\infty ; 1\right]$, on a $f(x) \leqslant ex+e$.