Convexité d'une fonction

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\double{R}$ par $f(x)=\left(x^2-3\right)\e^x$

Étudier la convexité de $f$ .

Correction

\begin{aligned} f'(x) &= 2x\times \e^x + \left(x^2-3\right)\e^x \\ &= \left(x^2+2x-3\right)\e^x \end{aligned}

puis

\begin{aligned} f''(x) &= \left(2x+2\right)\e^x + \left(x^2+2x-3\right)\e^x \\ &= \left(x^2+4x-1\right)\e^x \end{aligned}

Comme $\e^x > 0$ pour tout $x \in \double{R}$ , le signe de $f''(x)$ dépend uniquement du signe de $x^2+4x-1$ .

C’est un polynôme du second degré, donc $\Delta = 4^2-4\times 1 \times (-1)=20 > 0$

Le polynôme admet donc deux racines distinces : $x_1 = \dfrac{-4-\sqrt{20}}{2}=-2-\sqrt{5}$

et $x_2 = \dfrac{-4+\sqrt{20}}{2}=-2+\sqrt{5}$

Et comme $a=1>0$ , on a le tableau de signe suivant :

La courbe représentative de $f$ a donc deux points d’inflexion aux abscisses $-2-\sqrt{5}$ et $-2+\sqrt{5}$ .

Soit $f$ la fonction définie sur $\double{R}$ par $f(x)=\dfrac{x+1}{\e^x}$ .

Étudier la convexité de $f$ .
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en $x=-1$ .
En déduire que pour tout $x \in \left]-\infty ; 1\right]$ , on a $f(x) \leqslant ex+e$ .

Correction

\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1\times \e^x-(x+1)\e^x}{(\e^x)^2} \\ &= \dfrac{-x\e^x}{(\e^x)^2} \\ &= \dfrac{-x}{\e^x} \end{aligned}

puis

\begin{aligned} f''(x) &=\dfrac{-1\times \e^x -(-x)\e^x}{(\e^x)^2} \\ &= \dfrac{(x-1)\e^x}{(\e^x)^2} \\ &= \dfrac{x-1}{\e^x} \end{aligned}

Comme $\e^x > 0$ pour tout $x \in \double{R}$ , le signe de $f''(x)$ dépend uniquement du signe de $x-1$ .

x-1 \geqslant 0 \Longleftrightarrow x \geqslant 1

On a donc le tableau de signe suivant :

La courbe représentative de $f$ a donc un point d’inflexion à l’abscisse $1$ .

\begin{aligned} y &=f'(-1)(x-(-1))+f(1) \\ &= \dfrac{1}{\e^{-1}}(x+1)+0 \\ &= e^1(x+1) \\ &= ex+e \end{aligned}

L’équation de la tangente en $x=-1$ est donc : $y=ex+e$ .

On sait que la fonction est concave sur $x \in \left]-\infty ; 1\right]$ . La courbe représentative de $f$ est donc en dessous de ses tangentes, en particulier de la tangente en $x=-1$ d’équation $y=ex+e$ .

Donc, pour tout $x \in \left]-\infty ; 1\right]$ , on a $f(x) \leqslant ex+e$ .