Le théorème des valeurs intermédiaires

Quand doit-on l’utiliser ?

Lorsque la question ressemble à

Quels sont les conditions pour l’appliquer ?

Il faut que :

• la fonction $f$ soit continue sur l’intervalle $\left[a;b\right]$
• le nombre $k$ soit dans l’intervalle $\left[f(a);f(b)\right]$ ou $\left[f(b);f(a)\right]$ (selon lequel est le plus grand).

Remarque : $f(a)$ ou $f(b)$ peuvent être remplacés par $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a }} f(x)$ ou $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow b }} f(x)$ lorsque la fonction est définie par exemple sur $\left]a;+\infty\right[$.

Exemple

Solution rédigée

• la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $\left[-3;+\infty\right[$, car c’est une fonction formée par le quotient de deux polynômes (qui sont toujours continus sur $\double{R}$).
• $f(-3)=$$\textcolor{#FF0000}{1}$ et $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty }} f(x)=$$\textcolor{#0000FF}{+\infty}$ donc $3 \in \left[\textcolor{#FF0000}{1}; \textcolor{#0000FF}{+\infty}\right[$.

Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=3$ admet au moins une solution dans l’intervalle $\left[-3;+\infty\right[$.

Interprétation graphique

Exercices