La loi binomiale

Dans quelle situation l’utilise-t-on ?

• Considérons une expérience aléatoire qui possède deux issues possibles : succès (noté $S$) de probabilité $p$ et échec (noté $\overline{S}$). On l’appelle épreuve de Bernoulli.

• Supposons maintenant qu’on répète $n$ fois cette épreuve de Bernoulli, de manière identique et indépendante. On appelle cette répétition un schéma de Bernoulli.

• Enfin, cherchons à déterminer la probabilité d’obtenir un, deux, etc… succès lors de cette répétition. Pour cela, appelons $X$ le nombre de succès. $X$ est une variable aléatoire, c’est-à-dire que ses valeurs possibles dépendront du résultat de l’expérience.

• Alors : $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n;p)$.

Comment calculer la probabilité d’avoir $k$ succès ?

Si $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$, alors le nombre de succès est un nombre entier compris entre 0 et $n$.

La probabilité d’obtenir exactement $k$ succès est donnée par la formule suivante :

Exemple

Solution rédigée

1. • On a une épreuve de Bernoulli (tirer une boule bleue : succès ; tirer une boule rouge : échec) donc la probabilité de succès est $p=\dfrac{3}{8}$.

• On répète 10 fois cette épreuve de Bernoulli, de manière identique et indépendante.
• $X$ compte le nombre de succès lors de ces répétitions.

Donc $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}\left(10;\dfrac{3}{8}\right)$.

2. D’après la formule, on a :

3. On cherche $P(X \geqslant 1)$.

En remarquant que l’événement contraire de $X \geqslant 1$ est $X = 0$, on a :

En pratique, dans ces situations, on utilisera souvent la calculatrice.

Exercices