Résoudre une équation différentielle

Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?

Il s’agit d’une équation dont l’inconnue n’est pas un nombre mais une fonction, et qui fait intervenir la fonction ainsi que sa dérivée.

Exemples d’équations différentielles :

$y'=y$ est une équation différentielle donc l’inconnue $y$ est une fonction.

On remarque qu’ici la fonction $f(x)=\e^x$ est une solution possible de cette équation, car $f'(x)=\e^x=f(x)$.

Comment résoudre une équation différentielle ?

Selon la forme de l’équation différentielle, on peut appliquer les formules suivantes :

Équation différentielle homogène

Forme de l’équation : $y'=ay$

Solutions de l’équation : les fonctions de la forme $y(x)=C\e^{ax}$ où $C \in \double{R}$

Équation différentielle avec second membre constant

Forme de l’équation : $y'=ay+b$

Solutions de l’équation : les fonctions de la forme $y(x)=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$ où $C \in \double{R}$

Équation différentielle avec une fonction $\textbf{g}$ pour second membre

Forme de l’équation : $y'=ay+g$

Solutions de l’équation : les fonctions de la forme $y(x)=C\e^{ax} + p$ où $C \in \double{R}$ et $p$ est une fonction qui est une solution de l’équation, appelée solution particulière.

Remarque :

La constante $C$ qui apparaît dans les solutions indique que ces équations différentielles ont une infinité de solutions. Pour n’importe quelle valeur de $C$, la fonction est une solution possible de l’équation.

Exemples

Cette équation peut s’écrire sous la forme $y'=-3y$. On reconnaît donc une équation différentielle homogène.

Les solutions sont les fonctions de la forme $f(x)=C\e^{-3x}$, où $C \in \double{R}$.

Cette équation peut s’écrire sous la forme $y'=2y+5$. On reconnaît donc une équation différentielle avec second membre constant.

Les solutions sont les fonctions de la forme $f(x)=C\e^{2x}-\dfrac{5}{2}$, où $C \in \double{R}$.

1. On a $p(x)=-3x-1$, donc $p'(x)=-3$. En remplaçant $y$ par $p$ dans l’équation $(E)$, on a :

Donc $p(x)=-3x-1$ est une solution particulière de l’équation $(E)$.

2. L’équation $(E)$ est une équation avec second membre sous forme de fonction. Nous connaissons une solution particulière de cette équation.

Les solutions sont donc de la forme $f(x)=C\e^{3x}-3x-1$, où $C \in \double{R}$.

Exercices