Étudier la convexité d'une fonction

Déterminer la convexité d’une fonction $f$

Plusieurs méthodes peuvent être envisagées selon ce que l’on sait de la fonction :

• Étudier le signe de la dérivée seconde $f''$.
• Utiliser les variations de la dérivée $f'$.
• Utiliser la position des tangentes à la courbe de $f$ par rapport à cette courbe.

Fonction convexe	Fonction concave
$f'' \geqslant 0$	$f'' \leqslant 0$
$f'$ strictement croissante (les pentes des tangentes augmentent)	$f'$ strictement décroissante (les pentes des tangentes diminuent)
Les tangentes à la courbe sont en dessous de la courbe	Les tangentes à la courbe sont au dessus de la courbe

Point d’inflexion

La courbe d’une fonction $f$ admet un point d’inflexion lorsque la fonction passe de convexe à concave ou inversement.

En pratique : on a un point d’inflexion en $x=a$ si $f''(x)=0$ et si $f''$ change de signe en $a$.

Visualisation interactive

Déplacer le point sur la courbe et observer la position de la tangente par rapport à la courbe de la fonction $f$.

Exemple

Dérivons deux fois la fonction :

$f'(x)=3x^2 -6x +2$ et $f''(x)=6x-6$

Déterminons le signe de $f''(x)$ :

On a donc le tableau suivant :

Exercices